Το Παράδοξο του de Méré: Η Γέννηση της Θεωρίας Πιθανοτήτων – Το Πρόβλημα του de Méré
Ο de Méré, γνωστός τζογαδόρος της εποχής του, παρατήρησε δύο σενάρια παιχνιδιών με ζάρια και προσπάθησε να υπολογίσει τις πιθανότητες επιτυχίας τους βασισμένος σε μια απλοϊκή λογική. Τα δύο σενάρια ήταν:
Πρώτο Σενάριο: Ρίχνεις ένα ζάρι 4 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον μία φορά το 6;
Δεύτερο Σενάριο: Ρίχνεις δύο ζάρια 24 φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον μία φορά διπλό 6 (δηλαδή 6 και στα δύο ζάρια ταυτόχρονα);
Ο de Méré έκανε έναν υπολογισμό που βασιζόταν σε αναλογίες και θεώρησε ότι οι δύο πιθανότητες θα ήταν ίσες.
Ας δούμε τη λογική του:
Για ένα ζάρι, η πιθανότητα να φέρεις 6 σε μία ρίψη είναι 16. Με 4 ρίψεις, σκέφτηκε ότι οι «ευκαιρίες» του είναι 4×16=46=23.
Για δύο ζάρια, η πιθανότητα να φέρεις διπλό 6 σε μία ρίψη είναι 136 (αφού υπάρχουν 36 πιθανοί συνδυασμοί και μόνο ένας είναι 6−6). Με 24 ρίψεις, σκέφτηκε ότι οι «ευκαιρίες» του είναι 24×136=2436=23.
Επειδή και τα δύο δίνουν 213, υπέθεσε ότι οι πιθανότητες επιτυχίας είναι ίδιες. Όμως, η εμπειρία του στο τζόγο του έδειξε ότι το πρώτο σενάριο κέρδιζε συχνότερα από το δεύτερο, κάτι που τον μπέρδεψε.
Το Λάθος του de Méré
Το σφάλμα του de Méré ήταν ότι χρησιμοποίησε μια γραμμική αναλογία, η οποία δεν ισχύει για επαναλαμβανόμενα ανεξάρτητα γεγονότα. Η πιθανότητα να συμβεί κάτι «τουλάχιστον μία φορά» σε πολλές δοκιμές δεν υπολογίζεται απλά πολλαπλασιάζοντας την πιθανότητα μίας δοκιμής με τον αριθμό των δοκιμών. Αντίθετα, πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα να μην συμβεί ποτέ το γεγονός και να την αφαιρέσουμε από το 1.
Σωστή Ανάλυση
Ας υπολογίσουμε τις πραγματικές πιθανότητες για κάθε σενάριο:Πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον ένα 6 σε 4 ρίψεις ενός ζαριού
Σε μία ρίψη, η πιθανότητα να μην φέρεις 6 είναι 5:6 (αφού τα πιθανά αποτελέσματα είναι 1,2,3,4,5).
Επειδή οι ρίψεις είναι ανεξάρτητες, η πιθανότητα να μην φέρεις 6 σε καμία από τις 4 ρίψεις είναι:
(56)4=6251296
Η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον ένα 6 είναι το συμπλήρωμα:
1−6251296=6711296≈0.5175 ή περίπου 51.75%.
Πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον ένα διπλό 6 σε 24 ρίψεις δύο ζαριών
Σε μία ρίψη δύο ζαριών, η πιθανότητα να μην φέρεις διπλό 6 είναι 3536 (αφού υπάρχουν 36 συνδυασμοί και μόνο ένας είναι 6−6).
Η πιθανότητα να μην φέρεις διπλό 6 σε καμία από τις 24 ρίψεις είναι:
(3536)24
Αυτό δίνει περίπου 0.5085 (μπορούμε να το υπολογίσουμε ακριβώς, αλλά είναι πιο εύκολο να δείξουμε τη διαδικασία).
Η πιθανότητα να φέρεις τουλάχιστον ένα διπλό 6 είναι:
1−(3536)24≈1−0.5085=0.4915 ή περίπου 49.15%.
Η Διαφορά
Πρώτο σενάριο: 51.75% πιθανότητα επιτυχίας.
Δεύτερο σενάριο: 49.15% πιθανότητα επιτυχίας.
Παρόλο που οι αριθμοί είναι κοντά, το πρώτο σενάριο έχει ελαφρώς μεγαλύτερη πιθανότητα να πετύχει, κάτι που ο de Méré παρατήρησε εμπειρικά αλλά δεν μπορούσε να εξηγήσει με τη λογική του.
Η Συμβολή του Fermat και του Pascal
Ο de Méré έθεσε το πρόβλημα στον Pascal, ο οποίος το συζήτησε μέσω αλληλογραφίας με τον Fermat. Οι δύο μαθηματικοί ανέπτυξαν μια πιο συστηματική προσέγγιση στις πιθανότητες:
Ο Pascal χρησιμοποίησε συνδυασμούς και το τρίγωνο Pascal (που φέρει το όνομά του) για να αναλύει πιθανότητες.
.jpg)
Ο Fermat πρότεινε τη μέθοδο υπολογισμού της πιθανότητας μέσω του συμπληρώματος (όπως είδαμε παραπάνω), δίνοντας έμφαση στην ανεξαρτησία των γεγονότων.
Η αλληλογραφία τους το 1654 θεωρείται η απαρχή της θεωρίας πιθανοτήτων ως μαθηματικού κλάδου. Αντί να βασίζονται σε εμπειρικές παρατηρήσεις ή λανθασμένες αναλογίες, έθεσαν τις βάσεις για ακριβείς υπολογισμούς πιθανοτήτων.
Συμπέρασμα
Το λάθος του de Méré ήταν ότι δεν κατάλαβε τη μη γραμμική φύση των επαναλαμβανόμενων γεγονότων. Ο Fermat και ο Pascal έδειξαν ότι η σωστή μαθηματική ανάλυση αποκαλύπτει τη διαφορά μεταξύ των δύο σεναρίων, επιβεβαιώνοντας την εμπειρία του de Méré αλλά διορθώνοντας τη λογική του. Αυτό το πρόβλημα έγινε ένα κλασικό παράδειγμα στην ιστορία των μαθηματικών!
